Persamaan Umum Variasi Tekanan pada Sebuah Fluida Statik

Persamaan Umum Variasi Tekanan pada Sebuah
Fluida Statik

Gambar 1. Bentuk elemen fluida pada posisi kemiringan
Persamaan umum  dari gambar diatas adalah:

Persamaan di atas dikatakan persamaan umum karena dengan persamaan tersebut
kita bisa turunkan menjadi  persamaan -persamaan yang lain.
Gambar.1 menunjukkan fenomena elemen fluida berbentuk tabung dengan kemiringan
θ terhadap sumbu horizontal. Panjang tabung nya adalah δs dan z adalah
jarak/ketinggian antara dasar wadah dengan elemen fluida paling bawah  dan z+δz
adalah jarak  tabung bagian atas dengan dasar suatu wadah. Jadi bisa dikatakan δz =
δs. Sekali lagi, kenapa menggunakan simbol “δ” ? Karena elemen fluida tersebut
sangat kecil, atau mendekati nol. Lain hal nya jika kita menggunakan elemen yang
besar, maka kita gunakan simbol “Δ” . Setiap titik memiliki tekanan yang mendekati nol,
dan dipengaruhi oleh posisi ketinggiannya.
Karena kemiringannya terhadap sumbu vertical sebesar θ, maka  gaya-gaya yang
bekerja pada elemen fluida tersebut adalah: 

Gambar 2. Gaya-gaya yang bekerja
Resultan gaya nya adalah nol, karena gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida
tersebut adalah diam. Tekanan pada titik tabung bawah adalah pA, sedangkan di titik
atas adalah (p+δp)A
Kita sepakati bahwa gaya yang mengarah ke atas adalah positif, dan gaya yang
mengarah ke bawah adalah negatif. Maka:
ΣFs = 0
pA - (p+δp) A – mg .cosθ = 0
pA – (pA +δpA) – mg.cosθ = 0
pA – pA - δpA – mg.cosθ = 0
Kita hilangkan pA, karena pA-pA=0, maka:
- δpA - mg.cosθ = 0
- δpA = mg.cosθ
Diketahui dari persamaan tekanan bahwa m=ρ.v maka:
-δpA = (ρ.v).g.cosθ
Karena volume elemen fluida tersebut adalah v = δs.A ,maka :
-δpA = ρ.δs.A.g.cosθ
Kemudian kedua ruas (ruas kiri dan kanan) dibagi dengan A, sehingga menjadi:
-δp = ρ.δs .g.cosθ
Dengan memindahkan δs keruas kiri maka :
-δp/ δs = ρ .g.cosθ
Sehingga:

Kesimpulan : persamaan umum diawal terbukti /sesuai dengan hasil penjabaran
matematika dengan melihat gambar suatu eleman fluida diatas yang berbentuk tabung
dengan posisi kemiringan θ.

Variasi Tekanan terhadap Ketinggian pada Fluida
yang dipengaruhi Gravitasi
Dengan meninjau fenomena nya sebagai berikut:

Gamabar 3. Bentuk elemen fluida posisi vertikal
Persamaannya:

Gambar diatas adalah sebuah fenomena elemen fluida berbentuk tabung /silinder yang
posisi nya tegak lurus terhadap sumbu vertikal. Kita tinjau bahwa ketinggian elemen
fluida nya adalah  (z2-z1). Tekanan bagian bawah elemen fluida adalah P1 dan P2
untuk tekanan dari bagian atas elemen fluida tersebut dengan  luas penampangnya A.
Kemudian kita tinjau gaya-gaya yang bekerja terhadap sumbu-y (vertical), selain gayagaya yang terlihat pada gambar terdapat pula gaya( m.g) pada elemen fluida tersebut
,sehingga:
ΣFy = 0
(p1.A ) – (p2.A) – (m.g) = 0
p1.A = p2.A + m.g
Karena m = ρ.v, maka:
p1.A = p2.A+(ρ.v).g
Lalu kita masukkan rumus volume nya yaitu: v =A.(z2-z1), didapat:
p1A = p2A + ρ.A(z2-z1).g
Lalu kita keluarkan nilai A dengan memfaktorkan, maka:
p1A=A[p2+ρ(z2-z1)].g
Kemudian kita bagi dengan  A pada ruas kiri dan kanan, sehingga menjadi:
p1=p2+ρ(z2-z1)g
Lalu, kita pindahkan nilai p2 keruas kiri,maka:
- p2 + p1= ρ(z2 - z1) g
Kemudian dibagi dengan (-) pada kedua ruas ,didapat:

Pembuktian dengan rumus umum:
Karena posisi horizontal ,maka θ= 0
 Cos 0 = 1
Masukkan ke rumus umum:



Sehingga:

Dalam bentuk yang lebih besar elemen fluidanya, maka:

Karena ∆s = (z2-z1) dan ∆p = (p2 – p1 ) , diperoleh:

Kesimpulan : persamaan diawal terbukti /sesuai dengan hasil penjabaran matematika
dengan melihat gambar suatu eleman fluida diatas yang berbentuk tabung dengan
posisi tegak lurus sumbu vertical.

Kesamaan Besar Tekanan Fluida Statik pada Dua
Titik dengan Ketinggian Sama
Dengan meninjau fenomena nya adalah sebagai berikut:

Gambar 4. Bentuk elemen fluida pada posisi horizontal
Persamaannya :

Kemudian kita tinjau gaya-gaya yang bekerja pada sumbu-x(sumbu horizontal), Maka:
ΣFx = 0
Karena F = P. A, sehingga:
plA - prA=0
plA = prA
Kemudian dibagi dengan  A pada kedua ruas ( kiri dan kanan), sehingga menjadi:

Pembuktian dengan rumus umum:

Karena posisi horizontal ,maka

Masukkan ke rumus umum:

Sehingga: